Сегодня компьютерные математические системы благодаря их установке на ПК доступны педагогам и ученым, студентам и школьникам не только в коллективном, но и в индивидуальном порядке. Они используются в университетах и вузах, школах и колледжах. Велика роль таких систем и в автоматизации научно-технических расчетов, и в математическом моделировании природных явлений и технических систем и устройств.
Компьютерные математические системы можно подразделить на семь основных классов:
- системы для численных расчетов;
- табличные процессоры;
- матричные системы;
- системы для статистических расчетов;
- системы для специальных расчетов;
- системы для аналитических расчетов;
- универсальные системы.
Рассмотрим особенности каждого из них.
Системы компьютерной математики для численных расчетов.
К наиболее распространенным средствам относятся: арифметические и алгебраические операторы и функции; тригонометрические и гиперболические функции; обратные тригонометрические и гиперболические функции; логические операторы и функции; векторные и матричные операторы и функции; средства для решения систем линейных алгебраических уравнений; специальные математические функции; средства арифметики степенных многочленов (полиномов); функции для нахождения комплексных корней многочленов; функции для решения систем нелинейных алгебраических уравнений; средства для решения систем дифференциальных уравнений; средства оптимизации функций и линейного программирования; средства одномерной и многомерной интерполяции; средства создания двухмерных и трехмерных графиков; типовые средства программирования.
Системами для численных расчетов являются:
а) встроенные калькуляторы Windows;
б) табличные процессоры;
в) математические системы Eureka и Mercury.
С математической системой Eureka началось применение компьютерных математических систем массовым пользователем. Эта система под MS-Dos была создана фирмой Borland. Eureka основана на алгоритме решения произвольных систем нелинейных и линейных уравнений с минимизацией погрешности решения по методу наименьших квадратов. Она использовалась для решения оптимизационных задач, решением систем линейных и нелинейных уравнений и задачами из области линейного программирования. Сегодня же эта система устарела.
Система Mercury - это творческая переработка Eureka. Был улучшен входной язык и стала использоваться обычная графика. На современный момент программа Mercury также устарела.
Математические системы MathCad под MS-DOS.
Эти версии разрабатывались как системы для численных расчетов с пользовательским интерфейсом и входным языком, позволяющим создавать документы в стиле блокнотов, записи в которых максимально приближены к обычному математическому языку. Такие записи в одном документе содержат текстовые комментарии, математические выражения, формулы, таблицы, результаты вычислений и рисунки.
Системы класса MATLAB – матричные системы.
У этих систем даже единичное числовое значение воспринимается как элемент матрицы размера 1х1. Практически все функции системы определены как матричные – способные обрабатывать массивы.
Системы для статистических расчетов.
Особую разновидность математических систем образуют программы, предназначенные для проведения статистических расчетов: StatGraphics Plus, Statistica, SPSS, S-PLUS и др. Интерфейс таких программ напоминает интерфейс табличного процессора Excel. Так, вначале пользователю предоставляется возможность ввести данные в виде электронной таблицы или загрузить их в таблицу с накопителей информации.
Правила работы с электронными таблицами StatGraphics те же, что и для табличного процессора Excel. Большинство вычислений выполняется по правилу: ввел данные в таблицу, выделил нужные, исполнил команду нужного вида вычислений (например, регрессии, корреляции, обработки временных рядов и т.д.).
К числу нового поколения статистических программ можно отнести и программу S-PLUS, созданную фирмой MathSoft Inc. - разработчиком всемирно известной универсальной программы Mathcad.
Главное отличие статистических программ от табличных процессоров заключается в большем числе встроенных специальных статистических функций, позволяющих выполнять без программирования огромное число статистических вычислений, представляя их результаты в табличной, графической и иной форме.
Некоторые статистические программы, например, Statistica, обладают весьма представительным числом типов графиков, которые они могут создавать. Широко распространены многовариантные статистические расчеты. С помощью таких программ, выполняя приближение данных с помощью регрессии, можно использовать сразу десятки функций регрессии, оценив пригодность каждой из них и достигаемую при этом погрешность.
При выполнении серьезных статистических расчетов такие программы имеют определенные преимущества перед универсальными программами, что позволяет им занимать важное место в арсенале средств компьютерной математики.
Системы для специальных расчетов.
Имеется большое число программ, изначально ориентированных на некоторые специальные виды математических расчетов. Например, на решение систем нелинейных уравнений (ТК Solver), решение систем дифференциальных уравнений (Dynamic Solver), построение графиков функций (Axum, MathPlot, Sigma Plot), выполнения нелинейной регрессии (DataFit Nonlinear Regression), моделирования электронных схем (MicroCAP 5, Electronics Workbench, PSPice, Design Labs и др.) и т.д.
Из программ этого класса особый интерес представляют программы для построения графиков. Здесь выделяется AXUM 5.0/6.0, созданная фирмой MathSoft Inc. Она хорошо интегрируется математической системой Mathcad.
В настоящее время эти программы (за исключением графических) находят ограниченное применение, поскольку все их возможности перекрываются математическими системами для численных и аналитических вычислений и системами универсального назначения.
Уникальные графические возможности предоставляет и программа VISIO. Однако при всех своих презентационных и прочих графических возможностях эта программа прямого отношения к математическим системам не имеет.
К особому классу систем компьютерной математики относятся различные системы математического моделирования. Например, для моделирования блочнозаданных произвольных систем и устройств служит приложение Simulink, вошедшее в новые версии системы MATLAB.
Большими возможностями обладают современные программы проектирования и моделирования электронных схем, например MicroCAP, OrCAD, DesignLab, Electronics Workbench и др. Они позволяют задавать в графическом виде электронные схемы, после чего автоматически составляют и решают громоздкие системы уравнений, описывающих их работу. Результаты моделирования представляются в удобной графической форме в виде осциллограмм, спектрограмм, частотных характеристик и др.
Системы аналитических вычислений
Новейшее направление развития современной компьютерной математики. Основное их достоинство заключается в возможности выполнения вычислений в аналитическом виде и проведения арифметических и многих иных вычислений практически с любой желаемой точностью и без ограничений по максимальным (минимальным) значениям чисел.
Системы символьной математики (компьютерной алгебры) представляют наиболее интеллектуальное и интересное направление развития систем компьютерной математики. Они выполняют сложнейшие аналитические вычисления, в прошлом доступные только человеку.
ЭВМ и программные системы, производящие символьные вычисления и способные выдавать результаты в виде аналитических формул, известны довольно давно.
Был создан ряд языков программирования и программных систем для символьных операций: muMATH, Macsyma, Reduce, Maple V, Mathematica и др., создавших реальную основу для развития компьютерной алгебры. Среди этих систем одной из самых простых и получивших массовое распространение была система muMATH, реализованная на многих мини - и микро-ЭВМ.
Средства компьютерной алгебры со временем были включены в наиболее серьезные системы для численных расчетов (Mathcad и MATLAB), что превратило их в мощные и гибкие универсальные математические системы.
Отличительной чертой систем компьютерной алгебры является возможность вычисления математических выражений в общем виде. Например, если попытаться выполнить вычисление выражения в общем виде – для любого х, к примеру, взять и поставить справа знак равенства, то при использовании обычных языков программирования или математических систем для численных расчетов будет выведено сообщение об ошибке – напоминание о том, что переменная х не определена. При использовании же систем аналитических вычислений результатом будет, как и положено, единица. В этом принципиальное отличие данных систем от любых систем численного счета.
Также они способны вычислять аналитически производные и интегралы, выполнять подстановки одних сложных выражений в другие, выполнять математические преобразования и др.
Универсальными считаются системы
Необходимы для выполнения как численных, так и аналитических расчетов, включая статистические расчеты и визуализацию всех видов расчетов средствами графики. Каждая из таких систем относится к одному из этих двух классов – численных или аналитических. К ним относятся: математические системы класса MathCad под Windows; математические системы Mathematica 2/3/4; математическая система Maple; математическая система Matlab.
Каждая система имеет определенные специфические для нее свойства, которые необходимо учитывать при решении конкретных математических задач.
Полезные ссылки:
